Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben Sie ja Wege kennengelernt, also Wege im R-N, Abbildungen von einem Intervall A, B in den R-N.

Und wenn sich so ein Massenpunkt in einem Kraftfeld entlang eines Weges bewegt, dann wird Arbeit verrichtet.

Und um diese Arbeit zu berechnen, muss man entlang des Weges die Arbeit aufintegrieren.

Das führt zum Wegintegral und das ist der neue Begriff, mit dem wir uns heute beschäftigen wollen.

Also Integration an einem Weg entlang, Wegintegrale.

Das typische Beispiel ist das Kraftfeld der Erde, das schwere Feld der Erde.

Da bewegen sich ja öfters irgendwelche Teilchen, also im Kraftfeld F.

Das ist eine Abbildung vom R-Hoch-3 in den R-Hoch-3, bewegt sich ein Massenpunkt

längs eines Weges.

Und der Weg ist ja durch eine Abbildung Groß X von T gegeben, wobei das T, das kann man sich als Zeit vorstellen,

zu einem Intervall A, B durchläuft.

Und dabei wird eben Arbeit geleistet, physikalische oder mechanische Arbeit genauer gesagt.

Dabei wird Arbeit geleistet.

Und im Allgemeinen ist die recht komplex zu berechnen, aber wir können einen einfachen Fall betrachten,

dass wir einen Polygonzug haben.

Also unser Weg verbindet solche Punkte.

Hier haben wir X von T0, dann ist X von T1 der nächste Punkt, X von T2, X von T3, X von T4 und so weiter.

Also jetzt betrachten wir diesen Sonderfall eines Polygonzuges, ist der Weg ein Polygonzug

durch die Punkte X von T0, X von T1 und so weiter.

So kann man die Arbeit auch als eine endliche Summe beschreiben.

So ist die Arbeit näherungsweise durch die Punkte von I gleich 1 bis M,

das ist die Kraft an dem Punkt X von Ti minus 1.

Und die wird mit der Richtung dieses Stückes, dieses Teilstücks des Polygonzuges, skalar multipliziert.

X von Ti minus X von Ti minus 1.

Wir kennen ja sicher die Formel Arbeit ist Kraft mal Weg.

Und hier das ist ja die Kraft und die ist hier vektoriell, hat eine Richtung.

Und hier dieses Teilstück des Polygonzuges hat ja auch eine Richtung.

Und hier nimmt man das Skalarprodukt, dann kommt am Ende eine Zahl heraus.

Und diese Differenz ist ja ungefähr X Strich, also die Geschwindigkeit im Punkt Ti minus 1,

mal Ti minus Ti minus 1.

Wenn Sie hier das durch Ti minus Ti minus 1 teilen, haben Sie ja so einen Differenz in Prozenten.

Und wenn der Abstand zwischen Ti und Ti minus 1 klein wird, ist das ja gerade im Grenzwert die Ableitung,

X Strich von Ti minus 1. So kommt es zustande, dass das näherungsweise gleich ist.

Und zu dem Integral kommt man jetzt wieder wie üblich, wenn man eine allgemeine Kurve hat,

die zerlegt, das Zeitintervall AB wird zerlegt, T0, T1, T2 und so weiter,

sind dann die Zerlegungspunkte und dann kann man ja die allgemeine Kurve durch einen Polygonzug approximieren.

Und wenn man jetzt den Abstand zwischen den Zeitpunkten immer kleiner werden lässt,

also die Zerlegung feiner und feiner macht, kann man immer wieder die Kurve durch einen Polygonzug

besser und besser approximieren und im Grenzwert erhält man dann durch sukzessives Verfeinern das Arbeitsintegral.

Das schreiben wir jetzt hin. Allgemeiner führt Verfeinerung der Zerlegung

und dann ein entsprechender Grenzübergang, also wo dann auch hier die Geschwindigkeit auftaucht.

Der Formel für die Arbeit W ist dann das Integral von A bis B, also aus diesen endlichen Summen wird dann

den Grenzübergang im Liemens das Integral und was wird integriert? Die Kraft F entlang des Weges,

also von x von t, Kringel x Strich von t dt.

Das ist die Formel für die Arbeit, die Sie vielleicht aus der Mechanik auch schon kennen.

Das ist ein Beispiel für einen Weg Integral.

Wenn Sie ein Experiment durchführen, wenn Sie irgendwas hochheben, dann leisten Sie Arbeit

und da kommt es eigentlich nur darauf an, wie hoch Sie das heben, also wenn Sie das so hin und her bewegen,

das bringt nichts bezüglich der Arbeit, das macht den Weg nur länger, also wir lassen die Luft mal aus dem Spiel